ExcelによるPID制御のチューニング(3)設定値変更データを用いる方法(2)

2025年2月28日

“ExcelによるPID制御のチューニング(3)設定値変更データを用いる方法(1)”で紹介した方法について､今回は具体的なExcelにより計算を紹介します。今回は、比例微分先行PID制御(I-PD制御)です。

尚、前回は､PV値の参照モデルとの一致を評価してP,I,Dパラメータの最適化を行う方法と紹介しましたが、後半では、OP値の変動も最適化の目的関数に含めて紹介します。

この方法は､下記の資料の“E-FRIT法”を参考にしています。

加納，小河，田坂，高橋，滝波，吉井，大寶，増田：モデル不要PID調整法E-FRITの開発と実用化，計測と制御，50–12,1076/1079 (2011)

今回紹介するのは､PV値の参照モデルとの一致を評価してP,I,Dパラメータの最適化を行う方法です。チューニングの手順

チューニングの手順は次の通りになります。

設定値変更データの入手
$SP$,$PV$,$OP$、P,I,Dパラメータ、PID調節計の種類（PI-D,I-PD)
整定時間の決定
P,I,Dパラメータおよび参照モデルの無駄時間の仮定
PID調節計種類、整定時間及び無駄時間から参照モデルの時定数の決定
P,I,Dパラメータ及び$OP$から$\overline{SP}$を計算
$\overline{SP}$から参照モデルを使い$\overline{PV}$を計算
$\Sigma(PV-\overline{PV})^2$を計算
$\Sigma(PV-\overline{PV})^2$が十分小さければ最適P,I,Dパラメータ、十分小さくなければ3.に戻る

2.Excelでのチューニング

2-1.使用する設定値変更データ

ここでは、”ExcelによるPID制御のシミュレーション(2)”で作成したExcelシート(定位型)を使用し、設定値変更データを作成します。

設定値は300秒から2100秒までが0.55でそれ以外は0.5です。

2-2.チューニング用シートの作成(1)

このExcelファイルに、新しいシートを追加しチューニング用のシートとし、下記を入力します。

A列
時間を設定します。ここでは、1秒周期で3600秒までとします。
E6 比例ゲイン（KP) = 2.5
E7 積分時間（TI) = 150 秒
E8 微分時間 =G8*E7 (微分時間は積分時間より計算します。微分時間≦0.2の制限を入れるため)
E9 動作 -1(逆動作)
G8 微分時間/積分時間(初期値0.2)
D13 希望する整定時間 1200秒
D14 参照モデルの無駄時間初期値 60秒
整定時間、無駄時間から参照モデルの一次遅れの時定数を計算 =(D13-D14)/(4.4*3^0.6)
I13～設定値変更データのSP =定位系!I13～
J13～設定値変更データのPV =定位系!J13～
K13～設定値変更データのOP =定位系!K13～

2-3.チューニング用シートの作成(2)

下記ブロック線図を参考に$PV$,$OP$から$\overline{SP}$を計算します。

このExcelファイルに、新しいシートを追加しチューニング用のシートとし、上記ブロック線図を入力します。

M,N列
比例の伝達関数を貼り付け
ゲイン(N9) =1/E6
入力 (M13～) =K14～
O,P列
比例の伝達関数を貼り付け
ゲイン(P9) =1
入力 (O13～) =J13～
Q,R列
1次遅れの伝達関数を貼り付け
時定数(R7) =E8*0.1+1E-30
入力 (Q13～) =J13～
S,T列
微分の伝達関数を貼り付け
ゲイン(T11) =E8
入力 (S13～) =R13～
U列
三つの信号の合計を計算
U13～ =N13-$E$9*P13-$E$9*T13～
V,W列
微分の伝達関数を貼り付け
ゲイン(W11) =E7
入力 (V13～) =U13～です。
U列
$\overline{SP}$の計算
X13～ =-$E$9*W13+J13～

以上で$\overline{SP}$の計算は終了です。

2-3.チューニング用シートの作成(3)

次に､参照モデルを使って$\overline{SP}$から$\overline{PV}$を計算します。

I-PD制御では､参照モデルは3次遅れ(n=3)になり､時定数は下式より計算します。

$\tau=\frac{T_{99}}{4.4n^{0.6}}$

チューニング用のシートに、参照モデルによる$\overline{PV}$の計算を追加します。

AA,AB列
無駄時間の伝達関数を貼り付け
無駄時間(AB7) =D14
入力 (AA13～) =X13～
AC,AD列
1次遅れの伝達関数を貼り付け
時定数(AD7) =D15
入力 (AC13～) =AB13～
AE,AF列
1次遅れの伝達関数を貼り付け
時定数(AF7) =D15
入力 (AE13～) =AD13～
AG,AH列
1次遅れの伝達関数を貼り付け
時定数(AH7) =D15
入力 (AG13～) =AF13～

以上で$\overline{PV}$の計算は終了です。

次に$\Sigma(PV-\overline{PV})^2$の計算になります。

AI列
AI13～) =(J13-AH13)^2
AJ13
=SUM(AI13:AI3613)

これで$\Sigma(PV-\overline{PV})^2$が計算できます。

これで､準備ができたので､チューニングを実行します。

3-1.ソルバーの設定

チューニングは､$\Sigma(PV-\overline{PV})^2$を最小とするP,I,Dパラメータ及び参照モデルの無駄時間を求めることになります。

ここではExcelのソルバーを使用します。

目的セルは$AJ$13で、$\Sigma(PV-\overline{PV})^2$で、目標値は最小です。

変数セルと制約条件は次の通りです。

Kp E6､制約条件 0.1 以上
TI E7､制約条件 0.1 以上
TD/TI G8､制約条件 0.2以下
無駄時間 D14､1以上

その他は､デフォルトです。

3-2.チューニングの実行

ソルバーを実行します。

結果は次の通りです。

最適化前後で制御状態をシミュレーションすると下図のようになり､最適化がうまくいったことがわかります。

また､設定変更時の$PV$,$SP$と最適化後の$\overline{PV}$,$\overline{SP}$の関係は下記の通りです。

$PV$と$\overline{PV}$が一致するよう$\overline{SP}$がうまく調整していることがわかります。　

以上の例は､外乱のない状態のデータを使用しており、うまく最適化出来て当たり前と言うことも出来ます。

3-3.外乱ありの場合

そこで､外乱があるの場合についてチューニングを行いました。

下図のように、1500～2100秒でOPに+0.1の外乱があった場合について､最適化しました。

結果を､下表に示す。外乱なしに比べ､Kp,TI,TDとも大きな値となった。

このパラメータを使った場合の制御シミュレーションは､発散するという結果でした。

4.目的関数

今まで紹介した､PV値の参照モデルとの一致のみを評価してP,I,Dパラメータの最適化を行う方法では､対応不十分であり、下記資料のOP値も使った目的関数を取り入れることにしました。

小河守正；化学工学，85，115-118 (2021)

4-1.目的関数

目的関数は次式により求めます。

$\overline{OP}$は、P,IDパラメータと$\overline{SP}$,$\overline{PV}$から計算します。

4-2.$\overline{OP}$ の計算

はじめに$\overline{OP}$計算します。

この計算は、$\overline{SP}$、$\overline{OP}$及びP,I,Dパラメータから計算するので、”ExcelによるPID制御のシミュレーション(2)”のシートを使えば計算できます。

今まで作業していたシートの名前をSheetAにします。
“ExcelによるPID制御のシミュレーション(2)”で作成したExcelシート(定位型)を使用し、設定値変更データを作成したシートをコピーしてSheetBとします。

SheetBの変更

E6 =SheetA!E6, E7 =SheetA!E7, E8 =SheetA!E8, E9 =SheetA!E9, I5 =SheetA!I5 (SheetAの値を使用する。)
I5 =SheetA!I5
I13～ =SheetA!X13～ (SheetAの計算結果 $\overline{SP}$)
J13～ =SheetA!IAH13～ (SheetAの計算結果 $\overline{PV}$)
K13～ =SheetA!IK13～ (SheetAの設定値変更データ $OP$)
赤色部分(C12:G15)を消去